Arief Fadlansyah

Arief Fadlansyah

Private Website Simple Berbasis Pendidikan

Hot

Jumat, 28 Juni 2013

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SMA

Juni 28, 2013 0
Assallamualaikum, sahabat rif. Pada kesempatan kali ini saya akan share Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika IPA, dan saya akan melengkapinya secara bertahap.


Kumpulan Soal Matematika IPA:
  • Soal Ujian Nasional Matematika IPA 2007 A-12 | Download
  • Soal Ujian Nasional Matematika IPA 2008 P-45 | Download
  • Soal Ujian Nasional Matematika IPA 2009 P-45 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika IPA 2010 | Download
Kumpulan Soal Matematika IPS:
  • Soal Ujian Nasional Matematika IPS 2008 P-12 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika IPS 2010 | Download
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: ,

Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SMK

Juni 28, 2013 4
Assallamualaikum, sahabat rif. Kali ini saya akan mempost mengenai soal matematika smk atau sekolah kejuruan. Berikut Kumpulan Soal dan Pembahasan Matematika SMK, yang akan saya lengkapi secara bertahap.


Kumpulan Soal Matematika SMK Non-Teknik:
  • Soal Ujian Nasional SMK Akuntansi dan Penjualan 2009 P-13 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Non-Teknik 2010 P-15 | Download
Kumpulan Soal Matematika SMK Teknik:
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Teknologi 2009 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Teknologi 2010 | Download
Kumpulan Soal Matematika SMK Akuntansi dan Pemasaran:
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Akuntansi dan Pemasaran 1 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Akuntansi dan Pemasaran 2 | Download
Kumpulan Soal Matematika SMK Pariwisata, Seni & Kerajinan, Teknologi, Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran:
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Pariwisata, Seni & Kerajinan, Teknologi, Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran 1 | Download
  • Soal dan Pembahasan Ujian Nasional SMK Pariwisata, Seni & Kerajinan, Teknologi, Kerumahtanggaan, Pekerjaan Sosial, dan Administrasi Perkantoran 2 | Download
Kumpulan Soal Matematika SMK Teknologi, Pertanian, dan Kesehatan:
  • Soal dan Pembahasan UN SMK Teknologi, Pertanian, dan Kesehatan 1 | Download
  • Soal dan Pembahasan UN SMK Teknologi, Pertanian, dan Kesehatan 2 | Download
Read More
By - 4 komentar:
Label: ,

Kamis, 27 Juni 2013

Macam-macam Bilangan Real

Juni 27, 2013 0
Assallamualaikum, sahabat rif. Bilangan real yang kita ketahui secara umum yaitu bilangan genap, ganjil, prima dan lain sebagainya. Postingan ini akan menjelaskan lebih lengkap mengenai Macam-macam Bilangan Real.


Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan . Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Bilangan Rasional
Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk p/q, dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut:


Bilangan Irrasional
Himpunan bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk p/q dengan p, q ∈ B dan q ≠ 0. Contoh bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya:  , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

Bilangan Asli


Bilangan Cacah


Bilangan Bulat


Bilangan Prima
Bilangan yang habis di bagi dengan 1 dan dirinya sendiri.


Bilangan Komposit
Bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua, bisa dikatakan bilangan yang lebih dari 1 dan tidak termasuk bilangan prima.


Garis Bilangan

Referensi:
Wikipedia dan Buku Elektronik
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: ,

Matematika Yunani

Juni 27, 2013 0
Assallamualaikum, sahabat rif. Banyak sekali para matematikawan yang berasal dari yunani, salah satu yang terkenal adalah Pytagoras. Nah, postingan kali ini mengenai Sejarah Matematika Yunani.


Matematika Yunani adalah matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani, dikembangkan sejak abad ke-6 SM sampai abad ke-5 M di sekitar pesisir Timur Laut Tengah. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota yang tersebar di sekitaran Laut Tengah bagian Timur, mulai dari Italia hingga ke Afrika Utara, namun dibersatukan oleh budaya dan bahasa Yunani. Matematika Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut matematika helenistik. Kata "matematika" sendiri diturunkan dari kata Yunani kuno μάθημα (mathema), yang artinya "pelajaran tentang instruksi". Pelajaran matematika sendiri dan penggunaan teori dan bukti matematika yang diperumum  adalah perbedaan penting antara matematika Yunani dan apa yang sudah diberikan oleh peradaban sebelumnya.

Untuk lebih jelasnya mengenai matematika yunani berikut dasar fakta tentang asal-usul peradaban Yunani dan matematikanya: 
  • Perkiraan yang terbaik adalah bahwa peradaban Yunani kembali pada  2800 SM – pada saat pembangunan piramida besar di Mesir. Orang Yunani menetap di Asia Kecil, mungkin rumah asli mereka, di bidang Yunani modern, dan di Italia selatan, Sisilia, Kreta, Rhodes, Delos, dan Afrika Utara. 
  • Sekitar 775 SM mereka berubah dari tulisan hieroglif ke abjad Fenisia. Hal ini memungkinkan mereka untuk menjadi lebih baik, atau setidaknya lebih lancar dalam kemampuan mereka untuk mengekspresikan pikiran konseptual. 
  • Peradaban Yunani kuno berlangsung hingga sekitar 600 SM.
  • Pengaruh Mesir dan Babilonia itu terbesar di Miletus, kota Ionia di Asia Kecil dan tempat kelahiran filsafat Yunani, matematika dan ilmu pengetahuan. 
  • Dari sudut pandang matematika nya, yang terbaik adalah untuk membedakan antara dua periode: periode klasik dari sekitar 600 SM sampai 300 SM dan Aleksandria atau periode Helenistik dari 300 SM sampai 300 AD Memang, dari sekitar 350 SM pusat matematika pindah dari Athena ke Alexandria (di Mesir), kota ini dibangun oleh Alexander Agung (358 -323 SM). Ini tetap menjadi pusat matematika selama seribu tahun sampai perpustakaan dihentikan oleh umat Islam pada sekitar 700 AD.
Dalam kenyataannya, pengetahuan langsung kita tentang matematika Yunani kurang dapat diandalkan dibandingkan dengan Mesir yang lebih tua dan Babilonia, karena tidak ada naskah asli yang masih ada. Ada dua sumber matematika yunani: 
  • Naskah kuno Yunani Bizantium (buku naskah) yang ditulis 500-1500 tahun setelah karya-karya Yunani tenang arab terjemahan karya-karya Yunani dan terjemahan Latin dari versi bahasa Arab. 
  • Selain itu, kami tidak tahu bahkan jika karya-karya ini dibuat dari aslinya. Sebagai contoh, Heron membuat sejumlah perubahan Euclid 's Elemen, menambahkan kasus baru, memberikan bukti yang berbeda dan converses. Demikian juga untuk Theon dari Alexandria (400 M).
Selain sumber-sumber matematika yunani, perlu kita ketahui siapa orang yunani yang menulis sejarah matematika. Berikut orang-orang tersebut:
  • Eudemus (abad SM), anggota sekolah Aristoteles menulis sejarah aritmatika, geometri dan astronomi 
  • Theophrastus (sekitar 372-c 287 SM.) Menulis sebuah sejarah fisika. 
  • Pappus menulis Koleksi Matematika, account matematika klasik dari Euclid ke Ptolemeus 
  • Pappus menulis Keuangan Analisis, koleksi karya-karya Yunani sendiri.
  • Proclus (410-485 AD) menulis Komentar, mengobati Buku I Euclid dan berisi kutipan karena Eudemus.
Di masa matematika yunani ada beberapa sekolah yang telah didirikan, berikut sekolah tersebut:
  • Sekolah Ionia didirikan oleh Thales (643SM - 546SM). 
  • Sekolah Pythagoras didirikan oleh Pythagoras pada sekitar 585SM.
  • Sekolah Eleatic dari kota Italia selatan Elea dipimpin oleh Zeno yang membawa ke permukaan kontradiksi antara diskrit dan kontinu, decomposable dan yg tak dpt dibagi
  • Sekolah Eleatic. Democritus dari Abdera (sekitar 460-370 SM) juga harus disertakan dengan Eleatics
  • Sekolah Sofis (480 SM) itu berpusat di Athena. Penekanan diberikan kepada penalaran abstrak dan tujuan menggunakan alasan untuk memahami alam semesta. 
  • Sekolah Platonis, yang paling terkenal dari semua didirikan oleh Plato (427-327 SM) pada 387 SM di Athena. 
  • Pythagoras pelopor sekolah, Theodorus dari Kirene dan Archytas ari Tarentum, melalui ajaran-ajaran mereka, menghasilkan pengaruh Pythagoras kuat di sekolah Platonis keseluruhan
  • Akademi Plato adalah seperti sebuah universitas modern. Ada alasan, bangunan, siswa, dan program pendidikan formal yang diajarkan oleh Plato dan para pembantunya. Selama periode klasik, matematika dan filsafat yang disukai
  • Sekolah Eudoxus didirikan oleh Eudoxus (c. 408 SM), yang paling terkenal dari semua yang hebat matematika Yunani klasik dan kedua setelah Archimedes
  • Sekolah Aristoteles, yang disebut Lyceum, yang didirikan oleh Aristoteles (384-322 SM) mengikuti sekolah Platonis. Aristoteles mengatur filsafat fisika, matematika, dan realitas pada yayasan yang akan membawanya ke zaman modern.
Matematika Yunani terdiri dari sebuah periode besar di dalam sejarah matematika, sangat mendasar dalam geometri dan gagasan bukti formal. Matematika Yunani juga bersumbangsih penting bagi gagasan-gagasan teori bilangan, analisis matematika, matematika terapan, dan, pada periode itu, mendekati capaian kalkulus integral.

Tokoh-tokoh terkenal di dalam matematika Yunani di antaranya Pythagoras, seorang tokoh buram dari pulau kecil, Samos sebagian berserikat dengan kemistikan bilangan dan numerologi, tetapi lebih terkenal melalui teorema yang dihasilkannya, Teorema Pythagoras, dan Euklides, yang dikenal melalui bukunya Elemen Euklides, sebuah tulisan rujukan geometri selama berabad-abad.

Capaian yang paling berkarakter dari matematika Yunani mungkin teori irisan kerucut, banyak dikembangkan di dalam periode Helenistik. Metoda yang digunakan ini tidak membuat penggunaan eksplisit aljabar, tidak pula trigonometri.

Periode Klasik
Sejarawan biasanya menempatkan permulaan matematika Yunani pada masa hidup Thales dari Miletus (kira-kira 624-548 SM). Hanya sedikit yang diketahui tentang hidup dan karya Thales, tipis kepastian bahwa kelahiran dan kematiannya berdekatan dengan gerhana pada tahun 585 SM, yang mungkin muncul ketika dia masih dalam usia produktif. Meskipun demikian, umumnya disepakati bahwa Thales adalah orang pertama dari tujuh pria bijak dari Yunani. Teorema Thales, yang menyatakan bahwa sudut-sentuh-busur yang dilukiskan di dalam setengah-lingkaran adalah sudut siku-siku, mungkin dipelajari oleh Thales pada saat dia berada di Babilonia, tetapi tradisi yang melekat pada Thales adalah peragaan teorema itu. Dengan alasan inilah Thales seringkali dielu-elukan sebagai bapak organisasi deduktif matematika dan sebagai matematikawan sejati pertama. Thales juga dianggap sebagai orang terdini di dalam sejarah, yang kepadanya temuan-temuan khusus matematika disematkan. Meskipun tidak diketahui apakah Thales atau bukan yang pertama memperkenalkan struktur logika ke dalam matematika, yang saat ini menjadi hal yang berlaku di manapun, tetapi diketahui bahwa di dalam dua ratus tahun sesudah kematian Thales bangsa Yunani memperkenalkan struktur logika dan gagasan pembuktian ke dalam matematika. 

Tokoh penting lainnya di dalam pengembangan matematika Yunani adalah Pythagoras dari Samos (kira-kira 580-500 SM). Seperti Thales, Pythagoras juga berkunjung ke Mesir dan Babilonia, kemudian Magna Graecia di bawah kekuasaan Nebukadnezar II, tetapi menetap di Croton. Pythagoras mendirikan sebuah madzhab yang disebut Mazhab Pythagoras, yang menangani pengetahuan dan sifat-sifat wajar dan oleh karenanya semua temuan para pengikut mazhab Pythagoras menjadi milik mazhab ini. Dan karena di zaman kuno adalah suatu kelaziman untuk memberikan semua penghormatan bagi sang guru, Pythagoras sendiri dihargai atas temuan-temuan yang dibuat oleh mazhabnya. Aristoteles adalah seorang yang menolak penghormatan apapun yang khusus bagi Pythagoras sebagai pribadi, dan menganggap bahwa karya mazhab Pythagoras adalah karya sebuah kelompok. Salah satu persifatan terpenting dari mazhab Pythagoras adalah bahwa mazhab ini memelihara persepakatan bahwa pengkajian matematika dan filsafat adalah landasan akhlak untuk menjalani kehidupan. Jelas, bahwa kata-kata "filsafat" (cinta akan kebijaksanaan) dan "matematika" (yang dipelajari) dianggap digulirkan oleh Pythagoras. Dari cinta akan pengetahuan ini datanglah banyak pencapaian. Menjadi kewajaran untuk dikatakan bahwa mazhab Pythagoras menemukan sebagian besar bahan di dalam dua pertama buku Euklides, Elemen. 

Untuk mengetahui perbedaan karya Thales dan Pythagoras dari para matematikawan terkemudian atau terdahulu tidaklah mudah sebab tidak satupun karya asli mereka masih terpelihara, mungkin kecuali untuk "pecahan-pecahan Thales" yang masih bertahan, yang keandalannya masih dipersengketakan. Tetapi, beberapa sejarawan yang berdalil bahwa banyak pengetahuan matematika yang bersumber dari Thales sebenarnya dikembangkan di waktu berikutnya, khususnya aspek-aspek yang bergantung pada konsep sudut, sementara penggunaan pernyataan umum muncul terkemudian, seperti halnya yang ditemukan pada naskah resmi yang dituliskan pada lempengan. Alasan bahwa ia tidak jelas apa yang dilakukan oleh Thales atau Pythagoras adalah bahwa hampir tidak ada dokumentasi mutakhir yang masih terpelihara. Satu-satunya bukti berasal dari tradisi yang diabadikan di dalam karya semisal tanggapan Proclus terhadap Euklides yang ditulis beberapa abad kemudian. Beberapa karya yang lebih baru dari itu adalah tanggapan Aristoteles terhadap mazhab Pythagoras, masing-masing hanya diketahui dari sedikit pecahan yang tersisa. 

Thales dianggap telah menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan tinggi piramida menurut panjang bayangannya, dan jarak perahu dari pantai. Dia juga dihargai dengan tradisi yang telah dibuat, yakni bukti pertama teorema geometri - "Teorema Thales" yang dijelaskan di atas. Pythagoras dihargai dengan pengakuan dasar matematika pada harmoni musik, dan menurut tanggapan Proclus terhadap Euklides dia menemukan teori kesetaraan dan padatan beraturan. Beberapa sejarawan modern telah mempertanyakan apakah dia benar-benar membangun kelima-lima padatan beraturan itu, alih-alih para sejarawan itu lebih menganggap masuk akal bahwa Pythagoras hanya membuat tiga dari lima yang diakui. 

Beberapa sumber kuno menerakan temuan teorema Pythagoras bagi Pythagoras, padahal sumber lain mengakuinya sebagai bukti dari teorema yang dia temukan. Sejarawan modern percaya bahwa prinsip itu sendiri sudah diketahui oleh bangsa Babilonia dan mungkin saja diperoleh dari sana. Mazhab Pythagoras memandang numerologi dan geometri sebagai hal yang paling mendasar untuk memahami sift-sifat semesta dan oleh karenanya menjadi kiblat bagi gagasan-gagasan filsafat dan keagamaan mereka. 

Mazhab Pythagoras dihargai dengan beberapa pengembangan matematika tingkat lanjut, seperti penemuan bilangan irasional. Sejarawan menghargai mereka atas peran utamanya di dalam pengembangan matematika Yunani (khususnya teori bilangan dan geometri) ke dalam sistem logika utuh menurut definisi-definisi yang jelas dan teorema-teorema yang terbuktikan, yang dianggap sebagai subjek yang pantas dari pengkajian di dalam kebenarannya sendiri, tanpa memandang terapan praktis yang menjadi perhatian utama bagi bangsa Mesir dan Babilonia.

Helenistik
Peradaban Helenistik bermula pada abad ke-5 SM dengan penaklukan Iskandar Agung atas pesisir Laut Tengah bagian Timur, Mesir, Mesopotamia, dataran tinggi Iran, Asia Tengah, dan beberapa bagian dari India, yang menjadi awal dari penyebaran bahasa dan budaya Yunani ke seberang lautan. Bahasa Yunani menjadi bahasa para sarjana di dunia Helenistik, dan matematika Yunani melebur dengan matematika Mesir dan matematika Babilonia untuk membangkitkan matematika Helenistik.

Pusat pengkajian terpenting pada periode ini adalah Iskandariyah di Mesir, yang menarik banyak sarjana dari seluruh penjuru dunia Helenistik, terutama dari Yunani dan Mesir, tetapi juga dari Yahudi, Persia, Fenisia dan bahkan dari India. Sebagian besar naskah matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani telah ditemukan di Yunani, Mesir, Anatolia, Mesopotamia, dan Sisilia. Mekanisme Antikythera, sebuah kalkulator mekanik kuno.

Archimedes mampu menggunakan infinitesimal di dalam cara yang sama dengan kalkulus integral modern. Dengan mengasumsikan proposisi sebagai benar dan menunjukkan bahwa langkah-langkah berikutnya menunjukkan kontradiksi, dia dapat memberikan jawaban untuk soal-soal sampai sembarang derajat keakuratan, pada saat yang sama menspesifikasi limit-limit tempat beradanya jawaban. Teknik ini dikenal sebagai metode kelelahan, dan dia memanfaatkannya untuk menghampiri nilai π (Pi). Di dalam Kuadratur Parabola, Archimedes membuktikan bahwa luas yang dilingkupi parabola dan garis lurus adalah sama dengan 4/3 kali luas segitiga yang alas dan tingginya sama panjang. Dia menyatakan solusi untuk soal itu sebagai barisan geometri tak-hingga, yang jumlahnya sama dengan 4/3. 

Di dalam penghisap pasir, Archimedes berupaya menghitung banyaknya butir pasir yang dapat dimuat oleh semesta. Untuk melakukannya, dia menantang gagasan bahwa banyaknya butir pasir terlalu banyak untuk dihitung, dengan merancang skema penghitungan sendiri berdasarkan myriad, yang dilambangkan oleh 10.000. Matematika dan astronomi Yunani mencapai tahapan lanjut pada peradaban Helenistik, yang diramaikan oleh para sarjana seperti Hipparchus, Posidonius, dan Ptolemy, yang mampu membangun komputer analog sederhana seperti mekanisme Antikythera.
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: ,

Sistem Numerasi Hindu-Arab (± 300 SM – 750 M)

Juni 27, 2013 0
Assallamualaikum, sahabat rif. Melanjutkan postingan mengenai sistem numerasi romawi, ini merupakan kelanjutannya yaitu Sistem Numerasi Hindu-Arab.


India menggunakan dua sistem angka, yaitu angka Brahma dan angka Gupta. Angka Brahma merupakan angka yang dipakai di India sekitar pertengahan abad ketiga sebelum Masehi. Angka Brahma ditemukan pada tulisan gua-gua di daerah dekat Poona, Bombay, dan Uttar Pradesh. Angka-angka Brahma tersebut digunakan dalam jangka waktu yang cukup lama sampai keempat Masehi.

Pada permulaan abad keempat sampai abad keenam Masehi, di India mulai digunakan angka Gupta yang dikembangkan dari angka Brahma. Angka Gupta menyebar luas di India bersamaan dengan penaklukan wilayah-wilayah yang dilakukan oleh kekaisaran Gupta. Selanjutnya, angka Gupta dikembangkan menjadi angka Nagari, yang kadang juga disebut angka Devanagari. Bentuk ini dikembangkan dari angka Gupta sekitar abad ketujuh Masehi (Abdussakir, 2009:52-53).

Ketika angka-angka India mulai masuk ke Arab, dimulailah pengembangan angka-angka Arab yang diadaptasi dari angka-angka India. Diduga bahwa orang Arab yang pertama kali menulis teks bahasa Arab tentang bilangan India adalah Al-Khwarizmi. Al-Khwarizmi inilah yang kemudian diklaim sebagai penemu angka nol. Kata “zero” untuk mengatakan nol tidak lain berasal dari bahasa Arab “sifr”. Kata “sifr” mengalami perubahan secara terus menerus, yaitu cipher, zipher, zephirum, zenero, cinero, dan banyak lagi lainnya sampai menjadi zero. Kata “aljabar” tidak lain diambil dari nama kitab matematika “Al-Kitab al- mukhtashar fi hisab al-jabr wa al-muqabalah” karya Al-Khwarizmi. Kata “algoritma” atau “logaritma” diambil dari nama Al-Khwarizmi. Kata “Al-Khwarizmi” mengalami perubahan ke versi Latin menjadi “algorismi”, “algorism”, dan akhirnya menjadi “algorithm”.

Pertama angka yang disalin oleh Al-Sijzi dari matematikawan muslim lainnya di Shiraz pada tahun 969 M. kedua adalah angka yang dikopi oleh Al-Biruni sekitar tahun 1082 M. Pada akhir abad kedua belas Masehi, Leonardo Fibonacci mulai mempublikasikan buku-buku di Pisa yang menunjukkan kekuatan penggunaan sistem bilangan Arab. Leonardo Fibonacci membawa angka nol ke Eropa dalam karyanya berjudul Liber Abaci. Angka nol semakin dikenal luas di Eropa pada zaman Renaissance dengan tokoh-tokohnya seperti Leonardo da Vinci dan Rene Descardes. Masuknya angka Arab ke Eropa, menimbulkan pertentangan hamper selama 400 tahun, untuk menentukan pilihan antara menggunakan angka Arab atau angka Romawi.

Bahkan pihak gereja, dangat menentang menggunakan angka Arab di Eropa, karena adanya angka 0. Baru mulai tahun 1500 M, angka Arab menjadi sistem bilangan standar di Eropa. Perubahan angka India, menjadi angka Arab, lalu menjadi angka yang dikenal sekarang melalui tahapan yang sangat panjang. Berikut ini disajikan perubahan secara bertahap angka Brahma menjadi angka desimal di Eropa (Abdussakir, 2009:54).


Ciri penting dalam sistem ini adalah kita boleh menulis angka untuk sebarang angka, baik besar maupun kecil, dan hanya menggunakan sepuluh simbol yang disebut digit, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kata “digit” berarti “jari tangan” atau “jari kaki”. Karena hanya sepuluh simbol yang digunakan , maka sisitem numerasi Hindu-Arab disebut juga sistem numerasi perpuluhan.

Satu lagi prinsip dalam sistem numerasi ini yaitu “pengumpulan sepuluh-sepuluh” (sistem perpuluhan) dimana sepuluh satu diganti dengan satuu sepuluh, dan sepuluh-sepuluh diganti dengan satu ratus, seratus sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusnya. Bilangan objek yang dikumpulkan sedemikian disebut basis bagi sistem itu. Oleh karena itu, sistem Hindu-Arab adalah sistem basis sepuluh.

Angka Hindu-Arab boleh ditulis dalam bentuk uraian (expanded form), dimana nilai bagi setiap digit dalam setiap kedudukan itu jelas. Sebagai contoh, kita menulis 663 dalam bentuk uraian yaitu:
663 = 6 × 100 + 6 × 10 + (3 × 1) = 6 × 102 + 6 × 101 + (3 × 1) 
Sistem numerasi Hindu-Arab adalah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat. Nilai kedudukan dalam sistem ini berbasis 10, seperti ditunjukkan dibawah:
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: , ,

Sistem Numerasi Romawi (± 100 SM)

Juni 27, 2013 0
Assallamualaikum, sahabat rif. Telah kita ketahui bahwa sistem numerasi yang di gunakan romawi masih di pergunakan pada zaman ini. Untuk lebih mengetahui mengenai Sistem Numerasi Romawi, simak artikel di bawah ini.!


Sistem numerasi Romawi berkembang sekitar permulaan tahun 100 SM. Sampai saat ini, lambang bilangan Romawi masih banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Lambang bilangan yang digunakan dalam sistem Romawi sebagai berikut (Abdussakir, 2009:50-51). 
Angka Romawi

Peradaban Matematika Romawi merupakan kebalikan dari Peradaban matematika di Yunani artinya masa bergoyangnya Yunani (Sway) merupakan masa berbunganya matematika namun masa Romawi Merupakan masa kerdilnya matematika. Sebagai akibat, tidak hanya geometri tinggi Archimides dan Appolonius, tetapi juga elemen euclid, diabaikan. Dapat disimpulkan Notasi romawi ,dipinjam dari sumber-sumber luar.

Peradaban Romawi lebih mengedepankan ilmu praksis khususnya tentang Aritmatika. Dalam Hal ini ilmu matematika yang menjadi peradaban adalah matematika langsung dalam artian dalam bentuk hasil karya atau penerapan matematika itu sendiri. Sebagai contoh, Penyelesaiaan matematika dalam hal pembayaran bunga dan soal-soal bunga (rente), penyelesaian pembagian harta waris, pembentukan kalender, dll. Geometri terapan sebagai contoh Telah dimilikinya rumus menghitung segitiga, terutama segitiga sama sisi yang rumus aproksimasinya adalah ½ 3/5 a kuadrat.

Untuk menghitung bangsa Romawi kuno menggunakan sabak. Sabak dipakai dengan menggunakan kerikil yang berada diatas dan dibawah garis pemisah ditandai dengan angka Romawi menurut kolom-kolomnya. Setiap kerikildibawah garis dikolom paling kanan dihitung sebagai satuan , dan setiap kerikil di atas garis bernilai lima. Jika hitungannya bernilai 10 , sebuah kerikil dibawa ke sebelah kiri . Tabel dibawah memperlihatkan hitungan sebesar 256.317 domba. 

Sistem numerisasi Romawi yang sekarang ini merupakan modernisasi sistem adisi dari sistemnya yang lama. Sistem ini bukan sistem yang mempunyai nilai tempat, kecuali pada hal-hal tertentu yang sangat terbatas. Sistem ini juga tidak mempunyai nol. Sistem Romawi sudah ada sejak 260 tahun SM. Tetapi sistem Romawi yang seperti sekarang ini belum lama dikembangkannya. 
Misalnya lambang bilangan untuk empat adalah “IV” yang sebelumnya adalah “IIII”. Lambang untuk 50 = L pernah bentuknya ^, û, dan ¯. Lambang 100 = C. 
Pada zaman dahulu kala orang romawi kuno menggunakan penomoran tersendiri yang sangat berbeda dengan sistem penomeran pada jaman seperti sekarang. Angka romawi hanya terdiri dari 7 nomor dengan simbol huruf tertentu di mana setiap huruf melangbangkan memiliki arti angka tertentu, yaitu :


Bila lambang sebuah bilangan ditulis dengan dua angka sedangkan angka yang disebelah kanannya mewakili bilangan yang lebih kecil dari angka yang berada di sebelah kirinya, maka arti penulisan lambang bilangan itu adalah jumlahnya. Misalnya angka 4 dalam Romawi IV, I mewakili bilangan yang lebih kecil dari bilangan yang diwakili oleh V. Sedangkan angka I ditulis disebelah kiri dari V, maka arti IV ialah 5 – 1 yang sama dengan 4.

Pada prinsip pengurangan ini, I hanya dapat dikurangkan dari V dan X. X hanya dapat dikurangkan dari L dan C, dan C hanya dapat dikurangkan dari D dan M. Misalnya bilangan “99”, tidak dituliskan sebagai 100 – 1 yaitu dalam Romawi IC, namun dituliskan sebagai 90 + 9 = (100 – 10) + (10 – 1) yaitu XCIX. Sistem numerasi Romawi ini menggunakan dasar sepuluh. Jadi tidak ada tulisan VV untuk melambangkan 10, tetapi harus X. 

Beberapa kekurangan atau kelemahan sistem angka romawi, yakni :
  1. Tidak ada angka nol (0)
  2. Terlalu panjang untuk menyebut bilangan tertentu
  3. Terbatas untuk bilangan-bilangan kecil saja
Untuk menutupi kekurangan angka romawi pada keterbatasan angka kecil, maka dibuat pengali seribu dari nilai biasa dengan simbol garis strip di atas simbol angka Romawi, (kecuali I).


Dua buah coretan diatas V, X, C atau yang lainnya menunjukkan perkalian dengan sejuta.


Persamaannya dengan sistem numerasi hindu arab adalah sama-sama menggunakan basis sepuluh. Perbedaan dengan sistem numerasi hindu arab adalah:
  1. Sistem numerasi hindu arab menggunakan sistem nilai tempat
  2. Sistem numerasi romawi tidak menggunakan sistem nilai tempat 4 prinsip yang digunakan.
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: , ,

Sistem Numerasi Cina (± 200 SM)

Juni 27, 2013 0
Reduxation Website - Beberapa saat yang lalu saya memposting mengenai sistem numerasi maya. Nah, sekarang saya akan melanjutkan postingan tentang Sistem Numerasi Cina.


Matematika Cina permulaan adalah berlainan bila dibandingkan dengan yang berasal dari belahan dunia lain, sehingga cukup masuk akal bila dianggap sebagai hasil pengembangan yang mandiri. Tulisan matematika yang dianggap tertua dari Cina adalah Chou Pei Suan Ching, berangka tahun antara 1200 SM sampai 100 SM, meskipun angka tahun 300 SM juga cukup masuk akal.

Hal yang menjadi catatan khusus dari penggunaan matematika Cina adalah sistem notasi posisional bilangan desimal, yang disebut pula "bilangan batang" di mana sandi-sandi yang berbeda digunakan untuk bilangan-bilangan antara 1 dan 10, dan sandi-sandi lainnya sebagai perpangkatan dari sepuluh. Dengan demikian, bilangan 123 ditulis menggunakan lambang untuk "1", diikuti oleh lambang untuk "100", kemudian lambang untuk "2" diikuti lambang utnuk "10", diikuti oleh lambang untuk "3". Cara seperti inilah yang menjadi sistem bilangan yang paling canggih di dunia pada saat itu, mungkin digunakan beberapa abad sebelum periode masehi dan tentunya sebelum dikembangkannya sistem bilangan India. Bilangan batang memungkinkan penyajian bilangan sebesar yang diinginkan dan memungkinkan perhitungan yang dilakukan pada suan pan, atau (sempoa Cina). Tanggal penemuan suan pan tidaklah pasti, tetapi tulisan terdini  berasal dari tahun 190 M, di dalam Catatan Tambahan tentang Seni Gambar karya Xu Yue.


Karya tertua yang masih terawat mengenai geometri di Cina berasal dari peraturan kanonik filsafat Mohisme kira-kira tahun 330 SM, yang disusun oleh para pengikut Mozi (470–390 SM). Mo Jing menjelaskan berbagai aspek dari banyak disiplin yang berkaitan dengan ilmu fisika, dan juga memberikan sedikit kekayaan informasi matematika.

Pada tahun 212 SM, Kaisar Qín Shǐ Huáng (Shi Huang-ti) memerintahkan semua buku di dalam Kekaisaran Qin selain daripada yang resmi diakui pemerintah haruslah dibakar. Dekret ini tidak dihiraukan secara umum, tetapi akibat dari perintah ini adalah begitu sedikitnya informasi tentang matematika Cina kuno yang terpelihara yang berasal dari zaman sebelum itu. Setelah pembakaran buku pada tahun 212 SM, dinasti Han (202 SM–220 M) menghasilkan karya matematika yang barangkali sebagai perluasan dari karya-karya yang kini sudah hilang. Yang terpenting dari semua ini adalah Sembilan Bab tentang Seni Matematika, judul lengkap yang muncul dari tahun 179 M, tetapi wujud sebagai bagian di bawah judul yang berbeda. Ia terdiri dari 246 soal kata yang melibatkan pertanian, perdagangan, pengerjaan geometri yang menggambarkan rentang ketinggian dan perbandingan dimensi untuk menara pagoda Cina, teknik, survey, dan bahan-bahan segitiga siku-siku dan π. Ia juga menggunakan prinsip Cavalieri tentang volume lebih dari seribu tahun sebelum Cavalieri mengajukannya di Barat. Ia menciptakan bukti matematika untuk teorema Pythagoras, dan rumus matematika untuk eliminasi Gauss. Liu Hui memberikan komentarnya pada karya ini pada abad ke-3 M.

Zhang Heng (78–139) sebagai tambahan, karya-karya matematika dari astronom Han dan penemu Zhang Heng (78–139) memiliki perumusan untuk pi juga, yang berbeda dari cara perhitungan yang dilakukan oleh Liu Hui. Zhang Heng menggunakan rumus pi-nya untuk menentukan volume bola. Juga terdapat karya tertulis dari matematikawan dan teoriwan musik Jing Fang (78–37 SM); dengan menggunakan koma Pythagoras, Jing mengamati bahwa 53 perlimaan sempurna menghampiri 31 oktaf. Ini kemudian mengarah pada penemuan 53 temperamen sama, dan tidak pernah dihitung dengan tepat di tempat lain hingga seorang Jerman, Nicholas Mercator melakukannya pada abad ke-17.

Bangsa Cina juga membuat penggunaan diagram kombinatorial kompleks yang dikenal sebagai kotak ajaib dan lingkaran ajaib, dijelaskan di zaman kuno dan disempurnakan oleh Yang Hui (1238–1398 M). Zu Chongzhi (abad ke-5) dari Dinasti Selatan dan Utara menghitung nilai pi sampai tujuh tempat desimal, yang bertahan menjadi nilai pi paling akurat selama hampir 1.000 tahun.

Bahkan setelah matematika Eropa mulai mencapai kecemerlangannya pada masa Renaisans, matematika Eropa dan Cina adalah tradisi yang saling terpisah, dengan menurunnya hasil matematika Cina secara signifikan, hingga para misionaris Jesuit seperti Matteo Ricci membawa gagasan-gagasan matematika kembali dan kemudian di antara dua kebudayaan dari abad ke-16 sampai abad ke-18.

Cara penghitungan awal di Cina kuno knotting tali. Dengan kata lain, orang terikat knot di tali untuk menghitung hal-hal. Dalam sejarah Cina, tali knotting dan ukiran sebagai cara penomoran telah digunakan selama ribuan tahun sebelum secara bertahap digantikan oleh tanda-tanda dan karakter di Zaman Neolitik terlambat.

Dalam Dinasti Shang, yang cukup lengkap yang ditulis karakter dan sistem penomoran karakter berada di tempat di Cina. Dalam prasasti tulang nubuat dari Dinasti Shang, ada 13 karakter yang melambangkan angka dari satu sampai sepuluh serta seratus, seribu dan sepuluh ribu. Dengan 13 karakter penomoran, nomor alami dalam seratus ribu bisa dihitung. Bentuk karakter penomoran mengalami perubahan di usia kemudian sebelum menjadi apa yang mereka hari ini. Tetapi cara penomoran selalu diikuti dan disempurnakan.
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: , ,

Sistem Numerasi Maya (± 300 SM)

Juni 27, 2013 0
Sekedar ingin melengkapi artikel mengenai sistem numerasi, kali ini saya akan post Sistem Numerasi Maya. Untuk lebih jelasnya simak artikel di bawah ini.!


Peradaban Maya telah menetap di wilayah Amerika Tengah dari sekitar 2000 SM, meskipun yang disebut sebagai Periode Klasik membentang dari sekitar 250 SM sampai 900 SM. Pentingnya astronomi dan perhitungan kalender Maya dalam matematika masyarakat diperlukan, dan Maya yang dibangun cukup awal sistem nomor yang sangat canggih, mungkin lebih maju dari yang lain di dunia pada saat itu (meskipun perkembangan cukup sulit).

Tulisan atau angka yang dikembangkan bangsa Maya bentuknya sangat aneh,berupa bulatan lingkaran kecil dan garis-garis.Hal ini tentu dipengaruhi oleh alat tulis yang dipakai,yaitu tongkat yang penampangnya lindris (bulat),sehingga dengan cara manusukkan tongkat ke tanah liat akan berbekas lingkaran atau dengan meletakkan tingkat mereka sehingga berbekas aris.

Sistem numerasi Maya berbasi 20 (vigesimal) yang hanya menggunakan tiga simbol yaitu sistem cengkerang, batang dan titik. Suatu titik mewakili nilai satu, palang mewakili lima dan cengkerang mewakili nol. Seperti sistem numerasi sekarang, nilai tempat digunakan untuk mengembangkan sistem numerasi maya untuk mendapatkan angka yang lebih besar. Bagaimanapun, sistem ini mempunyai dua perbedaan yang signifikan dibandingkan dengan sistem yang kita gunakan sekarang, yaitu 1) nilai tempat disusun secara menegak, dan 2) menggunakan basis 20 (vigesimal).


Untuk mendapatkan semua angka yang lain, Suku Maya hanya menggunakan 20 simbol dari angka 0 hingga 19. Sistem basis 10 mempunyai nilai tempat berikut: 1, 101, 102, 103, dll. Maka sistem basis 20 mempunyai nilai tempat seperti berikut: 1, 201, 202, 203, dll. Meskipun demikian, suku Maya mempunyai satu penyimpangan dari basis 20. Nilai tempatnya adalah 1, 20, 20.18, 202.18, 203.18, dll.

Oleh karena itu, suku Maya lebih berminat menghitung hari dan kalender tahunan mempunyai 360 hari, karena lebih sesuai dengan nilai digit ketiga terkecil yaitu 20.18 = 360 dan bukan 20.20 = 400. Suku Maya menyusun angka mereka untuk menandakan nilai tempat berbeda. Prinsipnya dapat dilahat gambar berikut:


Jumlah 31.781.148 adalah nilai dalam basis 10. Angka yang ditulis dengan ringkas dalam sistem Maya yaitu 11.0.14.0.17.8 dimana angka yang ditulis adalah angka untuk nilai temapt.

Ada dua kelebihan dengan menggunakan sistem ini, yaitu:
a. Mudah menunjukkan angka yang lebih besar.




b. Aritmatikanya mudah untuk diselesaikan oleh orang.
Read More
By - Tidak ada komentar:
Label: , ,

Author Details

Hai, nama saya Arief Fadlansyah. Seorang lulusan Pendidikan Matematika di Universitas Borneo Tarakan. Sekarang saya mengabdi di Pondok Pesantren Daarul Ilmi Muhammadiyah Boarding School Tarakan sebagai Guru Matematika. Semoga blog ini dapat menjadi ikhtiar kita dalam berbagi ilmu terhadap sesama.