Arief Fadlansyah

Bilangan Bulat Beserta Contoh Soal. Hai hai hai.. Setelah memposting macam-macam bilangan, kali ini saya akan memposting kelanjutan dari materi bilangan yaitu bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya, baca terus artikel ini. Cekidot!


Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

• Tertutup, artinya setiap penjumlahan atau perkalian dua bilangan bulat hasilnya bilangan bulat juga.
• Komutatif (pertukaran)

• Bilangan Prima (P)

Bilangan Prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu satu dan bilangan itu sendiri.

Bilangan Komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1, dan bukan bilangan prima.

RPP Sejarah SMA Kurikulum 2013. Dalam postingan ini saya akan memberikan file mengenai contoh RPP Sejarah SMA Kurikulum 2013. Tanpa panjang lebar lagi, download link di bawah ini.

Berikut link downloadnya:

RPP Bahasa Indonesia SMA Kurikulum 2013. RPP merupakan rencana pembelajaran yang dimiliki guru dalam mengajar di kelas. Dengan RPP guru dapat mengevaluasi pembelajaran di dalam kelas.

Berikut contohnya:

RPP Matematika SMA Kurikulum 2013. RPP merupakan pegangan guru untuk mengajar di dalam kelas. RPP berisi tentang perencanaan guru saat pembelajaran yang akan di lakukannya nanti. Jadi RPP harus sudah di buat sebelum guru mengajar di kelas.

Berikut ini contoh dari RPP Matematika SMP Kurikulum 2013:

RPP Matematika SMP Kurikulum 2013. Sebelumnya saya telah memposting RPP Bahasa Inggris SMP Kurikulum 2013. Untuk melengkapi RPP Kurikulum 2013, saya akan memberikan contoh RPP Matematikanya. 

Untuk lebih jelasnya, download link di bawah ini:

RPP Bahasa Inggris SMP Kurikulum 2013. RPP atau Rencana Pelaksanaan Pembelajaran merupakan pegangan guru dalam melaksanakan pembelajaran di dalam kelas. Sebelum melaksanakan pembelajaran, guru di anjurkan memiliki RPP agar pelaksanaan pembelajaran dalam kelas berjalan dengan baik.

Tanpa panjang lebar silahkan download filenya di bawah ini:

Definisi Aksioma, Postulat, Dalil dan Teorema. Artikel kali ini tak terlalu panjang, saya hanya membagikan sedikit mengenai pengertian aksioma, postulat, dalil dan teorema. Untuk lebih jelasnya, simak tulisan di bawah ini. Cekidot!

Aksioma

Aksioma adalah pendapat yang dijadikan pedoman dasar dan merupakan Dalil Pemula, sehingga kebenarannya tidak perlu dibuktikan lagi. Aksioma yaitu suatu pernyataan yang diterima sebagai kebenaran dan bersifat umum, tanpa memerlukan pembuktian.

Contoh aksioma :

Postulat

Postulat adalah pernyataan yang dibuat untuk mendukung sebuah teori tanpa dapat dibuktikan kebenarannya. Contohnya adalah postulat Einstein dalam relativitas khusus tentang kecepatan cahaya.

Contoh Postulat pembuktian dan dapat digunakan sebagai premis pada deduksi.

1.    Postulat Geometri

       Dengan mistar dan jangka :

2.   Postulat Ekivalensi Massa

3.   Postulat Robert Koch (berupa etiologi spesifik). Mikroba tertentu menyebabkan penyakit tertentu (setelah Pasteur menemukan mikroba), dengan kata lain: setiap penyakit disebabkan oleh satu sebab mikroba tertentu.

Dalil

Dalil adalah kebenaran yang diturunkan dari aksioma, sehingga kebenarannya perlu dibuktikan terlebih dahulu. Dalil (theorem) biasanya digunakan pada matematika, hukum pada ilmu alam. Hubungan tetap di antara besaran

Teorema

Teorema adalah sebuah pernyataan, sering dinyatakan dalam bahasa alami, yang dapat dibuktikan atas dasar asumsi yang dinyatakan secara eksplisit ataupun yang sebelumnya disetujui. Dalam logika, sebuah teorema adalah pernyataan dalam bahasa formal yang daat diturunkan dengan mengaplikasikan aturan inferensi dan aksioma dari sebuah sistem deduktif.

Teorema adalah pernyataan hubungan definisi dengan definisi lainnya. Contoh: Teorema Pythagoras menyatakan hubungan ketiga sisi segitika siku-siku, Teorema Langrange menyatakan hubungan grup hingga dengan subgrup-nya.

Bagaimana memahami suatu teorema. Belajar begaimana membuat teorema baru dari asumsi-asumsi yang telah diketahui. Belajar melihat hubungan definisi dengan definisi lainnya sehingga bisa ditarik suatu teorema.

Metode Penelitian Studi Kasus. Menurut Bogdan dan Bikien (1982) studi kasus merupakan pengujian secara rinci terhadap satu latar atau satu orang subjek atau satu tempat penyimpanan dokumen atau satu peristiwa tertentu . Surachrnad (1982) membatasi pendekatan studi kasus sebagai suatu pendekatan dengan memusatkan perhatian pada suatu kasus secara intensif dan rinci. SementaraYin (1987) memberikan batasan yang lebih bersifat teknis dengan penekanan pada ciri-cirinya. Ary, Jacobs, dan Razavieh (1985) menjelasan bahwa dalam studi kasus hendaknya peneliti berusaha menguji unit atau individu secara mendalarn. Para peneliti berusaha menernukan sernua variabel yang penting.

Berdasarkan batasan tersebut dapat dipahami bahwa batasan studi kasus meliputi: (1) sasaran penelitiannya dapat berupa manusia, peristiwa, latar, dan dokumen; (2) sasaran-sasaran tersebut ditelaah secara mendalam sebagai suatu totalitas sesuai dengan latar atau konteksnya masing-masing dengan maksud untuk mernahami berbagai kaitan yang ada di antara variabel-variabelnya.

Jenis-jenis Studi Kasus

Langkah-Langkah Penelitian Studi Kasus

Ciri-ciri Studi Kasus yang Baik

Perhatian

Orientasi teoritik dan pemilihan pokok studi kasus dalam penelitian kualitatif bukanlah perkara yang mudah, tetapi tanpa memperdulikan kedua hal tersebut akan cukup menyulitkan bagi peneliti yang akan turun ke lapangan. Dengan memahami orientasi teoritik dan jenis studi yang akan dipilih maka setidak-tidaknya seorang peneliti telah akan mempersiapkan diri sebelum benan-benar terjun dalam kancah penelitian. Di dalam penyusunan desain penelitian kedua hal tersebut hendaknya sudah dapat ditentukan, meskipun masih bersifat sementana.

Untuk dapat mengatasi kesulitan dalam menentukan orientasi teoritik pemilihan pokok studi, terutarna dalam studi kasus, Guba dan Lincoln (1987) memberikan saran-saran sebagai berikut: Pertama, bagi peneliti pemula hendaknya banyak membaca sebanyak mungkin laporan-laporan kasus yang ada sehingga mereka dapat mempelajari bagaimana para peneliti menyusunnya. Kedua, mereka hendaknya bergabung dengan para penulis kasus yang baik untuk memahami bagaimana mereka bekerja. Ketiga, mereka harus berlatih menulis laporan kasus, dan terakhir, mereka harus meminta kritik-kritik yang positif dan para ahli.

Untuk lebih jelasnya mengenai metode penelitian ini, anda dapat mendownload link di bawah ini:

Sejarah Matematika Aliran Phytagoras. Pythagoras lahir pada tahun 580 SM (Sebelum Masehi) di Pulau Samos, Yunani. Dia berayah seorang pedagang kaya bernama Mnesarchus dari kota Tirus, Phoenicia, sekarang bernama kota Sur, masuk wilayah Libanon. Mnesarchus dikenal sangat dermawan pada warga Samos sehingga mendapat anugrah sebagai warga kehormatan kota Samos.

Ibu Pythagoras berdarah asli Samos, bernama Pythais yang dinikahi Mnesarchus untuk menyempurnakan statusnya sebagai warga kota Samos. Kelahiran Pythagoras yang kelak akan menjadi tokoh tersohor sepanjang zaman telah dinujumkan jauh hari oleh seorang pendeta Yunani di kuil Apollo, kota Delphi. Ketika itu Mnesarchus yang baru menikahi Pythais sedang melakukan perjalanan bisnis dan singgah di kuil Apollo dengan membawa persembahan. Begitu tiba di kuil, Mnesarchus langsung disambut sang pendeta. “Ke sinilah, hai orang Phoenicia,” kata pendeta. Mnesarchus terheran-heran.“Bagaimana anda mengetahui saya?” tanyanya penuh ketakjuban. “Sudah tugasku menerima wahyu dari Yang di Atas. Kau akan dianugerahi seorang anak yang istimewa. Rawatlah baik-baik anakmu. Bagi bangsa Yunani, dia akan penuh hikmat. Bagi umat manusia keseluruhan, dia akan membawa pada pengetahuan. Rawatlah dia baik-baik dan jagalah anakmu sepenuh hati,” ujar pendeta itu panjang lebar.

Selengkapnya tentang artikel ini, dapat anda download link di bawah ini:

Thanks to Randi Permadi Dkk

Kegunaan Matematika Diskrit pada Teknik Informatika. Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan kontribusi tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapan aplikasi matematika. Teknologi informatika yang semakin berkembang menunjukkan perkembangan manusia dalam menerapkan aplikasi matematika dalam mengembangkan bidang lain. salah satu contohnya adalah penerapan matematika disktrit dalam pengembangan teknologi komputer.

Matematika diskrit adalah nama lazim untuk lapangan matematika yang paling berguna di dalam ilmu komputer teoretis. Ini menyertakan teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, dan teori informasi. Teori komputabilitas adalah pengkajian teraktabilitas oleh komputer. Sedangkan teori informasi memusatkan perhatian pada banyaknya data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan oleh karenanya berkenaan dengan konsep-konsep semisal pemadatan dan entropi.

Untuk bahasan selengkapnya mengenai artikel ini, dapat anda download link di bawah ini:

Referensi: Makalah oleh Said Zulhelmi Arif

KKM (Kriteria Ketuntasan Minimal) adalah kriteria paling rendah untuk menyatakan peserta didik mencapai ketuntasan. KKM harus ditetapkan diawal tahun ajaran oleh satuan pendidikan berdasarkan hasil musyawarah guru mata pelajaran di satuan pendidikan atau beberapa satuan pendidikan yang memiliki karakteristik yang hampir sama. Pertimbangan pendidik atau forum MGMP secara akademis menjadi pertimbangan utama penetapan KKM.

Fungsi KKM

Berikut link download materi ini:

• Download Cara Menetapkan KKM
• Download Format KKM

Skripsi Mengurangi Perilaku Agresif Melalui Layanan Klasikal Menggunakan Teknik Sosiodrama. Skripsi adalah istilah yang digunakan di Indonesia untuk mengilustrasikan suatu karya tulis ilmiah berupa paparan tulisan hasil penelitian sarjana S1 yang membahas suatu permasalahan/fenomena dalam bidang ilmu tertentu dengan menggunakan kaidah-kaidah yang berlaku.

Skripsi bertujuan agar mahasiswa mampu menyusun dan menulis suatu karya ilmiah, sesuai dengan bidang ilmunya. Mahasiswa yang mampu menulis skripsi dianggap mampu memadukan pengetahuan dan keterampilannya dalam memahami, menganalisis, menggambarkan, dan menjelaskan masalah yang berhubungan dengan bidang keilmuan yang diambilnya. Skripsi merupakan persyaratan untuk mendapatkan status sarjana (S1) di setiap Perguruan Tinggi Negeri (PTN) maupun Perguruan Tinggi Swasta (PTS) yang ada di Indonesia. Istilah skripsi sebagai tugas akhir sarjana hanya digunakan di Indonesia. Negara lain, seperti Australia menggunakan istilah thesis untuk penyebutan tugas akhir dengan riset untuk jenjang undergraduate (S1), postgraduate (S2), Ph.D. dengan riset (S3) dan disertation untuk tugas riset dengan ukuran yang kecil baik undergraduate (S1) ataupun postgraduate (pascasarjana). Sedangkan di Indonesia skripsi untuk jenjang S1, tesis untuk jenjang S2, dan disertasi untuk jenjang S3.

Dalam penulisan skripsi, mahasiswa dibimbing oleh satu atau dua orang pembimbing yang berstatus dosen pada perguruan tinggi tempat mahasiswa kuliah. Untuk penulisan skripsi yang dibimbing oleh dua orang, dikenal istilah Pembimbing I dan Pembimbing II. Biasanya, Pembimbing I memiliki peranan yang lebih dominan bila dibanding dengan Pembimbing II.

Proses penyusunan skripsi berbeda-beda antara satu kampus dengan yang lain. Namun umumnya, proses penyusunan skripsi adalah sebagai berikut:

Terdapat juga proses penyusunan skripsi yang cukup ringkas sebagai berikut:

Setelah mengetahui hal di atas, langsung saja saya bagikan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat menjadi referensi untuk mahasiswa yang mengerjakan skripsi.

• Download Skripsi Mengurangi Perilaku Agresif Melalui Layanan Klasikal Menggunakan Teknik Sosiodrama

Download Materi Bilangan Kompleks. Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

 a + bi,

di mana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i^2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian imajiner 2i.

Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil; namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan riil yang hanya memiliki sebagian.

Dalam bidang-bidang tertentu (seperti teknik elektro, di mana i digunakan sebagai simbol untuk arus listrik), bilangan kompleks ditulis a + bj.

Untuk lebih lengkap dan jelasnya, anda bisa mendownload materi di bawah ini:

Thanks for Anang Mutaqir

Kumpulan Soal Matematika SMP yang terdiri dari soal matematika secara umum, soal olimpiade matematika dari tingkat kota, propinsi maupun nasional, serta terdapat pula soal matematika ujian nasional dari tahun-tahun sebelumnya. Tanpa panjang lebar, silahkan download link-link di bawah ini. Terima Kasih.

Kumpulan Soal Prediksi Ujian Nasional Matematika:

• Prediksi Ujian Nasional Matematika 2012 Paket 25 | Download
• Prediksi Ujian Nasional Matematika 2013 Paket A013 | Download
• Prediksi Ujian Nasional Matematika 2013 Paket B025 | Download
• Prediksi Ujian Nasional Matematika 2013 | Download

Kumpulan Soal Pengayaan Ujian Nasional Matematika:

• Soal Pengayaan Ujian Nasional Matematika SMP 2013 Paket 1 | Download
• Soal Pengayaan Ujian Nasional Matematika SMP 2013 Paket 2 | Download
• Soal Pengayaan Ujian Nasional Matematika SMP 2013 Paket 3 | Download

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu yang mempelajari perubahan, sebagaimana geometri yang mempelajari bentuk dan aljabar yang mempelajari operasi dan penerapannya untuk memecahkan persamaan. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Contoh cabang kalkulus yang lain adalah kalkulus proposisional, kalkulus variasi, kalkulus lambda, dan kalkulus proses. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Berikut link-link materi kalkulus, semoga bermanfaat.

Semoga bermanfaat. Jika ada link yang mati, silahkan berkomentar di bawah ini!

Thank to Danang Musita

Sejarah Matematika Babilonia

Babilonia adalah wilayah budaya kuno di pusat-selatan Mesopotamia (Sekarang Irak), dengan Babel sebagai ibukotanya. Pendiri sekaligus raja pertama dari Babilonia adalah seorang kepala suku Amorite bernama Sumuabum yang mendeklarasikan kemerdekaan Babilonia dari Negara tetangganya Kazallu pada tahun 1894 sebelum masehi. Babilonia muncul sebagai bangsa yang kuat saat Raja Hammurabi dari suku Amorite menciptakan sebuah kerajaan kecil diluar teritori wilayah Kekaisaran Akkadia. Bangsa Babilonia mengadopsi bahasa Semitik Akkadia sebagai bahasa resmi dan bahasa Sumaria sebagai bahasa yang dipakai untuk keperluan keaagamaan yang saat itu tidak lagi digunakan sebagai bahasa lisan.

Tradisi Akkadia dan Sumeria memainkan peran utama dalam perkembangan kebudayaan Babilonia dan bahkan hal ini menjadikan beberapa daerah di negara tersebut menjadi pusat kebudayaan hingga ke luar daerah Babilonia sendiri pada zaman perunggu dan awal zaman besi. Babilonia sebagai Negara merdeka, sebenarnya bukan didirikan hingga menjadi terkenal oleh orang asli dari suku Amorite, sebagian besar sejarahnya Babilonia berada dibawah pemerintahan orang-orang Mesopotamia, Assyiria dan bahkan bangsa asing seperti Kassite, Elam, Het, Aram, Kasdim, Persia, Yunani dan Partia.

Babilonia pertama kali disebutkan dalam sebuah tulisan kuno dari masa pemerintahan Sargon dari Akkad yang tertanggal tahun 23 sebelum masehi. Diperkirakan sekitar seratus tahun setelah jatuhnya Kekaisaran “Ur-III” dari Sumaria di tangan bangsa Elam, suku Amorite mendapatkan kendali kekuasaan untuk hamper seluruh wilayah Mesopotamia dan merebut tahta Assyiria, Mari, Eshnunna Ur, Isin, Larsa dan kerajaan kecil lain di Mesopotamia.

Selama abad ke-3 sebelum masehi, ada banyak simbiosis pengembangan budaya antara bangsa Sumeria dan bangsa Akkadiadi seluruh Mesopotamia termasuk penggunaan dua bahasa atau bilingualism yang menyebar luas di seluruh daerah. Pengaruh Sumaria terhadap Akkadia dan sebaliknya meliputi berbagai pengkonversian dalam hal leksikal, sintaksis, morfologi dan fonologis bahasa, hal inilah yang mendasari para ahli disana untuk merujuk pada Sumaria dan Akkadia yang mereka sebut sebagai Sprachbund.

Bahasa Akkadia secara bertahap menggantikan bahasa Sumaria sebagai bahasa resmi di Mesopotamia., tetapi bahasa Sumari masih digunakan untuk hal-hal tertentu seperti upacara keagamaan, sastra dan bahasa ilmiah sampai abad ke-1 masehi.

Kebudayaan Mesopotamia selama zaman perunggu hingga awal zaman besi sering disebut sebagai budaya “Assyro-Babilonia” karena kedekatan yang saling bergantung di pusat daerah politik dua bangsa tersebut. Seiring berjalannya waktu, nama Babilonia kini digantikan menjadi Sumaria.

Matematika Babilonia merujuk pada seluruh matematika yang dikembangkan oleh bangsa Mesopotamia (kini Iraq) sejak permulaan Sumeria hingga permulaan peradaban helenistik. Dinamai “Matematika Babilonia” karena peran utama kawasan Babilonia sebagai tempat untuk belajar. Pada zaman peradaban helenistik, Matematika Babilonia berpadu dengan Matematika Yunani dan Mesir untuk membangkitkan Matematika Yunani. 

Kemudian di bawah Kekhalifahan Islam, Mesopotamia, terkhusus Baghdad, sekali lagi menjadi pusat penting pengkajian Matematika Islam. Bertentangan dengan langkanya sumber pada Matematika Mesir, pengetahuan Matematika Babilonia diturunkan lebih dari pada 400 lempengan tanah liat yang digali sejak 1850-an. Lempengan ditulis dalam tulisan paku ketika tanah liat masih basah, dan dibakar di dalam tungku atau dijemur di bawah terik matahari. Beberapa di antaranya adalah karya rumahan.

Bukti terdini matematika tertulis adalah karya bangsa Sumeria, yang membangun peradaban kuno di Mesopotamia. Mereka mengembangkan sistem rumit metrologi sejak tahun 3000 SM. Dari kira-kira 2500 SM ke muka, bangsa Sumeria menuliskan tabel perkalian pada lempengan tanah liat dan berurusan dengan latihan-latihan geometri dan soal-soal pembagian. Jejak terdini sistem bilangan Babilonia juga merujuk pada periode ini. Sebagian besar lempengan tanah liat yang sudah diketahui berasal dari tahun 1800 sampai 1600 SM, dan meliputi topik-topik pecahan, aljabar, persamaan kuadrat dan kubik, dan perhitungan bilangan regular, invers perkalian, dan bilangan prima kembar. 

Lempengan itu juga meliputi tabel perkalian dan metode penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat. Lempengan Babilonia 7289 SM memberikan hampiran bagi √2 yang akurat sampai lima tempat desimal.Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Melalui keunggulan orang Babylonia pada bidang astronomi, sistem perhitungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang, yakni dengan diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk 1 jam.

Bilangan 60 digunakan untuk menyatakan waktu, sejam 60 menit, semenit 60 detik. Bilangan 60 ini digunakan pertama kali oleh bangsa Sumeria, jadi mereka berhitung dengan basis 60 atau disebut juga Sexagesimal. Alasan kenapa digunakan bilangan 60 adalah bilangan ini bilangan terkecil yang bisa dibagi oleh enam angka pertama yaitu: 1,2,3,4,5,6.Jadi dengan mudah kita bisa terbayang: 1/2 jam = 30 mnt, 1/3 jam = 20 menit, 1/4 jam = 15 menit, dst. Alasan lain juga karena sistem bilangan yang paling banyak digunakan manusia saat ini adalah sistem desimal, yaitu sebuah sistem bilangan berbasis 10. 

Sistem Bilangan Sejarah Matematika Babilonia

Tulisan dan angka bangsa Babilonia sering juga disebut sabagai tulisan paku karena bentuknya seperti paku.Orang Babilonia menulisakan huruf paku menggunakan tongkat yang berbentuk segitiga yang memanjang (prisma segitiga) dengan cara menekannya pada lempeng tanah liat yang masih basah sehingga menghasilkan cekungan segitiga yang meruncing menyerupai gambar paku.

Babilonia menggunakan satu untuk mewakili satu, dua untuk mewakili dua, tiga untuk tiga, dan seterusnya, sampai sembilan. Namun, mereka cenderung untuk mengatur simbol-simbol ke dalam tumpukan rapi. Setelah mereka sampai kesepuluh, ada terlalu banyak simbol, sehingga mereka berpaling untuk membuat simbol yang berbeda. Sebelas itu sepuluh dan satu, dua belas itu sepuluh dan dua, dua puluh itu sepuluh dan sepuluh. Untuk simbol enam puluh tampaknya persis sama dengan yang satu. Enam puluh satu adalah enam puluh dan satu, yang karenanya terlihat seperti satu dan satu, dan seterusnya.

Sejarah Matematika Mesir

Matematika Mesir merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Mesir. Sejak peradaban helenistik matematika Mesir melebur dengan matematika Yunani dan Babilonia yang membangkitkan Matematika helenistik. Pengkajian matematika di Mesir berlanjut di bawah Khilafah Islam sebagai bagian dari matematika Islam, ketika bahasa Arab menjadi bahasa tertulis bagi kaum terpelajar Mesir.

Tulisan matematika Mesir yang paling panjang adalah Lembaran Rhind (kadang-kadang disebut juga “Lembaran Ahmes” berdasarkan penulisnya), diperkirakan berasal dari tahun 1650 SM tetapi mungkin lembaran itu adalah salinan dari dokumen yang lebih tua dari Kerajaan Tengah yaitu dari tahun 2000-1800 SM. Lembaran itu adalah manual instruksi bagi pelajar aritmetika dan geometri. Selain memberikan rumus-rumus luas dan cara-cara perkalian, pembagian, dan pengerjaan pecahan, lembaran itu juga menjadi bukti bagi pengetahuan matematika lainnya, termasuk bilangan komposit dan prima; rata-rata aritmetika, geometri, dan harmonik; dan pemahaman sederhana Saringan Eratosthenes dan teori bilangan sempurna (yaitu, bilangan 6). Lembaran itu juga berisi cara menyelesaikan persamaan linear orde satu juga barisan aritmetika dan geometri.

Naskah matematika Mesir penting lainnya adalah lembaran Moskwa, juga dari zaman Kerajaan Pertengahan, bertarikh kira-kira 1890 SM. Naskah ini berisikan soal kata atau soal cerita, yang barangkali ditujukan sebagai hiburan.

Simbol-simbol dan cara membacanya

Sistem penulisan orang – orang mesir menggunakan simbol Hieroglif dan Hieratic :

Hieroglif adalah gambar kecil yang mewakili kata-kata. Misalnya, untuk menggambarkan dengan kalimat “Aku mendengar anjing menggonggong” mungkin diwakili oleh : ”Mata”, “telinga”, “kulit pohon” + “kepala mahkota”, “anjing”. Simbol yang sama mungkin berarti sesuatu yang berbeda dalam konteks yang berbeda, Jadi “mata” mungkin berarti “melihat” sementara “telinga” mungkin berarti “suara”. Orang Mesir memiliki system bilangan basis 10 hieroglif. Dengan ini berarti bahwa mereka memiliki symbol terpisah untuk satuan, puluhan, ratusan, ribuan, puluhribuan, ratusribuan, dan jutaan. Berikut ini adalah angka hieroglif.

Cara penulisan angka Hieroglif

Selama Kerajaan Baru masalah matematis disebutkan pada Papyrus Anastasi 1, dan Wilbour Papyrus dari waktu Ramesses III mencatat pengukuran lahan. Angka hieroglif agak berbeda dalam periode yang berbeda, namun secara umum mempunyai style serupa. Sistem bilangan lain yang digunakan orang Mesir setelah penemuan tulisan di papirus, terdiri dari angka hieratic.

Angka ini memungkinkan bilangan ditulis dalam bentuk yang jauh lebih rapi dari sebelumnya saat menggunakan sistem yang membutuhkan lebih banyak simbol yang harus dihafal. Berikut adalah versi dari angka hieratic.

Seperti hieroglif, simbol hieratic berubah dari waktu ke waktu tetapi mereka mengalami perubahan lagi dengan enam periode yang berbeda. Awalnya simbol-simbol yang digunakan cukup dekat hubungannya dengan tulisan hieroglif namun bentuknya menyimpang dari waktu ke waktu. Versi yang diperlihatkan dari angka hieratic dari sekitar 1800 SM. Kedua system berjalan secara parallel selama sekitar 2000 tahun dengan simbol hieratic yang digunakan dalam menulis di papirus, seperti misalnya dalam papyrus Rhind dan papyrus Moskow, sementara hieroglif terus digunakan ketika dipahat pada batu.

Ref: Bangmath

Pengertian Perbedaan Individu

Keunikan yang ada pada masing-masing individu yang akan membedakan cara berpikir, berperasaan, dan bertindak. Tidak ada individu yang sama dengan individu lain, sekalipun kembar identik.

Sumber Perbedaan Individu

a. Faktor Bawaan

Yaitu faktor-faktor biologis yang diturunkan melalui pewarisan genetik orang tuanya. Proses ini dimulai sejak masa konsepsi (pembuahan), + 280 hari sebelum kelahiran. Pada  masing-masing  sel  reproduksi  terdapat  23  pasang  kromosom. Kromosom adalah partikel seperti benang yang masing-masing di dalamnya terdapat untaian partikel yang sangat kecil (= gen).

Gen adalah pembawa ciri bawaan yang diwariskan orang tua kepada keturunannya. Jumlah gen dalam genome (= kumpulan gen) sekitar 60.000 – 150.000. Masing-masing gen mengandung potensi ciri bawaan fisik dan mental. Mempengaruhi: bentuk tubuh, kekuatan fisik, kecerdasan.

b. Faktor Lingkungan

Status Sosial Ekonomi Orang tua

Berimplikasi pada perbedaan aspirasi orang tua terhadap pendidikan anak, aspirasi anak tehadap pendidikannya, fasilitas yang diberikan pada anak, dan waktu yang disediakan untuk anak-anaknya.

Pola Asuh Orang Tua

Budaya

• Ide-ide, gagasan, nilai-nilai, norma-norma, peraturan.
• Sistem sosial: aktifitas dan tindakan berpola dari manusia dan masyarakat.
• Benda-benda hasil karya manusia.

Macam-macam Perbedaan Individu

a. Perbedaan Jenis Kelamin dan Gender

Gifted

Adalah individu yang memiliki IQ di atas 130, sekitar 1% dari populasi. Anak-anak gifted lebih banyak berasal dari kelas sosial ekonomi yang tinggi. 

Sebagian besar sukses dan berprestasi. Namun sebagian lagi terlibat dalam perkara kriminal, drop out dini dari sekolah, atau gagal dalam beberapa pekerjaan. Hal ini disebabkan karena secara emosional kurang matang atau kurang motivasi dibandingkan yang lain.

Menurut Renzulli ada tiga ciri pokok anak gifted, yaitu:

Anak-anak gifted beresiko mengalami kesulitan serius di sekolah, jumlahnya sekitar 5-10% dari total anak gifted. Gejala-gejala dari anak gifted yang mengalami kesulitan belajar di antaranya adalah:

• Menunjukkan hiperaktifitas di sela-sela konsentrasi yang intensif 
• Mudah terganggu situasi gaduh 
• Tidak dapat mengingat perintah tiga tahap 
• Sulit belajar fonem 
• Sulit mengeja 
• Sulit belajar fakta-fakta matematis 
• Minta mengulangi perintah 
• Tidak mampu mengerjakan tes 
• Tulisannya tidak terbaca 
• Tidak menyelesaikan tugas tertulis 
• Sulit mencatat di kelas 
• Sulit menyelesaikan tugas-tugas sederhana, tapi bagus dalam 
• Konsep 
• Tidak merespon remedial dengan baik 
• Lemah dalam beberapa pelajaran tapi bagus dalam mata pelajaran lain.

Anak-anak gifted perlu mendapat perhatian. Pendidikan harus disesuaikan atau memusatkan pada kekuatan, minat, dan kapasitas intelektual mereka yang superior. Untuk anak-anak yang mengalami kesulitan belajar perlu menggunakan strategi-strategi kompensasi, yang meliputi teknologi dan komunikasi yang bervariasi.

Retarted

Adalah individu yang memiliki IQ di bawah 70.

Klasifikasi dari Panel Mental Retardasi adalah sebagai berikut:

Mild Retardation (IQ 50-70)

• Tidak tampak sebagai anak retarded oleh orang biasa 
• Dapat belajar ketrampilan praktis, membaca atau menghitung sampai level kelas 6 SD, tapi harus dididik di sekolah luar biasa bukan sekolah umum 
• Dapat mencapai ketrampilan sosial dan pekerjaan untuk pemeliharaan diri tapi dilakukan dengan lamban 
• Dapat dibimbing untuk penyesuaian sosial 
• Membutuhkan dukungan dan bimbingan berkala saat mengalami tekanan ekonomi atau sosial yang tidak biasa 

Moderate Retardation (IQ 36-50) 

• Lambat dalam bergerak dan berbicara 
• Bisa dilatih mengerjakan tugas-tugas sederhana untuk menolong diri 
• Dapat berkomunikasi secara sederhana 
• Dapat dilatih ketrampilan-ketrampilan tangan sederhana 
• Mampu berjalan sendiri di tempat-tempat yang dikenal 
• Tidak mampu merawat diri sendiri 

Severe Retardation (IQ 20-35)

• Lambat dalam perkembangan motorik 
• Sedikit atau tanpa kemampuan berkomunikasi 
• Masih bisa dilatih untuk ketrampilan dasar menolong diri sendiri 
• Dapat melakukan aktifitas sehari-hari yang sifatnya rutin dan berulang 
• Membutuhkan petunjuk dan pengawasan dalam sebuah lingkungan yang terlindung 

Profound Retardation (IQ di bawah 20)

• Memiliki kapasitas minimal dalam fungsi-fungsi sensori motor 
• Lambat dalam semua aspek perkembangan 
• Menunjukkan emosi dasar 
• Mungkin mampu dilatih untuk menggunakan tangan, kaki, dan rahang 
• Membutuhkan pengawasan yang ketat dan perawatan 
• Bicara primitif 
• Tidak mampu merawat diri

d. Perbedaan Kepribadian

1. Model Feider & Solomon
Active & Reflective Learners

Active learner	Reflective learner
Mendiskusikan, mengaplikasikan, atau menjelaskan pengetahuannya pada orang lain	Memikirkan  pengetahuan  yang didapatkannya
“Coba dulu dan lihat hasilnya”	“Mari pikirkan dahulu”
Belajar dalam kelompok	Belajar sendiri
Lebih tekun dalam menulis pelajaran	Kurang  tekun  dalam  menulis pelajaran

 Sensing & Intuitive Learners 

Sensing learner	Intuitive learner
Suka mempelajari fakta	Memilih menemukan kemungkinan dan hubungan
Menyukai  pemecahan  masalah dengan menggunakan cara-cara yang sudah  pasti,  tidak  menyukai komplikasi dan kejutan	Menyukai inovasi dan tidak suka pengulangan“Mari pikirkan dahulu”
Suka pada sesuatu yang rinci, memiliki ingatan yang bagus terhadap fakta-fakta, mengerjakan pekerjaan-pekerjaan di laboratorium	Bagus dalam menemukan konsep- konsep baru, lebih nyaman dengan abstraksi dan formulasi matematik.
Lebih praktis dan hati-hati	Lebih cepat bekerja dan inovatif
Tidak menyukai kursus atau pelatihan yang  tidak  berhubungan  dengan dunia nyata	Tidak  menyukai  kursus  atau pelatihan menekankan pada ingatan perhitungan rutin.

 Visual & Verbal Learners

Visual  learner	Verbal  learner
Memiliki ingatan yang bagus terhadap apa yang dilihatnya: gambar, diagram, flow chart, film, dan peragaan	Mudah mengingat kata-kata, baik tertulis maupun penjelasan lisan

Sequential & Global Learners 

Sequential learner	Global  learner
Memahami melalui langkah-langkah yang linier, setiap langkah mengikuti langkah sebelumnya secara logis	Belajar melalui lompatan-lompatan besar, menyerap info secara acak tanpa  melihat  hubungannya  dan tiba-tiba dapat menemukan hubungannya
Mencari solusi dengan mengikuti langkah-langkah yang logis	Mampu memecahkan masalah kompleks dengan cepat atau mengumpulkan sesuatu secara bersama-sama dalam suatu cara yang baru, tetapi mungkin mengalami kesulitan dalam menjelaskannya

Innovative Learner (mengalami = merasakan dan merefleksikan)

• Suka berbicara mengenai pengalaman dan perasaan mereka, bertanya, atau bekerja dalam kelompok. 
• Suka belajar masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan nyata, diasuh oleh 
• guru, diberi jawaban atas pertanyaan “mengapa”. 
• Mempercayai pengalaman sendiri dan dapat melihat situasi baru dari berbagai perspektif. 
• Merupakan orang-orang yang penuh ide. 
• Dapat mempengaruhi orang lain dan cenderung emosional. 

Analytic Learner (mengkonseptualisasikan = merefleksikan dan memikirkan)

• Berorientasi pada pengetahuan, konseptual, dan keteraturan. 
• Suka belajar dari ceramah-ceramah, bekerja secara mandiri, serta mendiskusikan ide-ide. 
• Bagus dalam pendidikan tradisional yang mengutamakan verbal dan juga dalam mengarjakan tes. 
• Pencari fakta yang tekun dan teliti. 
• Bagus dalam menciptakan konsep dan model-model. 
• Tidak seemosional innovator. 
• Memilih struktur yang lebih berdasar logika dan rasionalitas. 
• Perencana yang sistematis. 

Common Sense Learner (mengaplikasikan = memikirkan dan melakukan)
Dynamic Learner (membentuk = membentuk dan melakukan)

• Belajar dengan menemukan sendiri, mencoba dengan trial & error, dan bekerja secara mandiri. 
• Suka tugas-tugas terbuka yang memerlukan pengambilan resiko. 
• Suka dan mudah menyesuaikan diri dengan perubahan. 
• Suka membuat langkah-langkah intuitif untuk memecahkan masalah. 
• Antusias dan ambisius.

3. Multiple Intelligence 

• Kecerdasan Linguistic- Verbal 
• Kecerdasan Logika-Matematika 
• Kecerdasan Musikal 
• Kecerdasan Visual-Spasial 
• Kecerdasan Body-Kinestetik 
• Kecerdasan Interpersonal 
• Kecerdasan Intrapersonal 
• Kecerdasan Naturalis

Ref:

Arumi Savitri Fatimaningrum, S. Psi. | UNY | Materi Psikologi Pendidikan