Sistem Numerasi

Sistem numerasi adalah sekumpulan lambang dan aturan pokok untuk menuliskan bilangan. Lambang yang menyatakan suatu bilangan disebut numeral/ lambang bilangan.

Banyaknya suku bangsa di dunia menyebabkan banyaknya sistem numerasi yang berbeda. Oleh karena itu suatu bilangan dapat dinyatakan dengan bermacam-macam lambang, tetapi suatu lambang menunjuk hanya pada satu bilangan.

Beberapa sistem numerasi yang dikenal:

1. Sistem Numerasi Mesir Kuno (±3000 SM)

Bersifat aditif, dimana nilai suatu bilangan merupakan hasil penjumlahan nilai-nilai lambang-lambangnya.

Lambang dan simbol bilangan Mesir

2. Sistem Numerasi Babylonia (±2000 SM)

Pertama kali orang yang mengenal bilangan 0 (nol) adalah Babylonian

3. Sistem Numerasi Yunani Kuno (±600 SM)

Ada 2 macam:

• S.N. Yunani kuno attic, dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat, misal: 2→ II

• S.N. Yunani kuno alfabetik, digunakan setelah S.N. Yunani kuno attic,

Orang Yunani menulis sejarah Matematika: 

• Eudemus (abad SM), anggota sekolah Aristoteles menulis sejarah aritmatika, geometri dan astronomi 
• Theophrastus (sekitar 372-c 287 SM.) Menulis sebuah sejarah fisika. 
• Pappus menulis Koleksi Matematika, account matematika klasik dari Euclid ke Ptolemeus 
• Pappus menulis Keuangan Analisis, koleksi karya-karya Yunani sendiri.
• Proclus (410-485 AD) menulis Komentar, mengobati Buku I Euclid dan berisi kutipan karena Eudemus 

Sekolah Matematika Yunani:

• Sekolah Ionia didirikan oleh Thales (c. 643 -. C 546 SM). 
• Sekolah Pythagoras didirikan oleh Pythagoras pada sekitar 585 
• Sekolah Eleatic dari kota Italia selatan Elea dipimpin oleh Zeno yang membawa ke permukaan kontradiksi antara diskrit dan kontinu, decomposable dan yg tak dpt dibagi
• Sekolah Eleatic. Democritus dari Abdera (sekitar 460-370 SM) juga harus disertakan dengan Eleatics
• Sekolah Sofis (480 SM) itu berpusat di Athena. Penekanan diberikan kepada penalaran abstrak dan tujuan menggunakan alasan untuk memahami alam semesta. 
• Sekolah Platonis, yang paling terkenal dari semua didirikan oleh Plato (427-327 SM) pada 387 SM di Athena. 
• Pythagoras pelopor sekolah, Theodorus dari Kirene dan Archytas ari Tarentum, melalui ajaran-ajaran mereka, menghasilkan pengaruh Pythagoras kuat di sekolah Platonis keseluruhan
• Akademi Plato adalah seperti sebuah universitas modern. Ada alasan, bangunan, siswa, dan program pendidikan formal yang diajarkan oleh Plato dan para pembantunya. Selama periode klasik, matematika dan filsafat yang disukai
• Sekolah Eudoxus didirikan oleh Eudoxus (c. 408 SM), yang paling terkenal dari semua yang hebat matematika Yunani klasik dan kedua setelah Archimedes
• Sekolah Aristoteles, yang disebut Lyceum, yang didirikan oleh Aristoteles (384-322 SM) mengikuti sekolah Platonis. Aristoteles mengatur filsafat fisika, matematika, dan realitas pada yayasan yang akan membawanya ke zaman modern.

4. Sistem Numerasi Maya (±300 SM)

Berbasis 20 dan ditulis secara tegak. Suku bangsa Maya sudah mengenal bilangan tak hingga.

Contoh: menulis 258.458 dalam bilangan Maya

5. Sistem Numerasi Cina (±200 SM)

6. Sistem Numerasi Jepang-Cina (±200 SM)

7. Sistem Numerasi Romawi (±100 SM)

Persamaannya dengan sistem numerasi hindu arab adalah sama-sama menggunakan basis sepuluh.

Perbedaan dengan sistem numerasi hindu arab adalah 

• Sistem numerasi hindu arab menggunakan sistem nilai tempat
• Sistem numerasi romawi tidak menggunakan sistem nilai tempat 

4 prinsip yang digunakan:

1. Pengulangan 

Angka yang boleh diulang adalah I , X ,C , M ( tidak boleh diulang lebih dari 3x ).

Contoh : 

20 = XX , 3 = III  

4 ≠ IIII tetapi 4 = IV

100 ≠ LL tetapi 100 = C

2. Penjumlahan

Jika suatu angka diikuti oleh angka yang lebih kecil, maka nilai angka yang lebih kecil menambah nilai angka sebelumnya.

Yang boleh mengikuti adalah angka I, V, X, L , C , D

Contoh :

VI =6  

XI =11

MD =1.500

3. Pengurangan 

Jika angka yang lebih kecil mendahului nilai angka yang lebih besar, maka nilai angka yang lebih kecil mengurangi nilai angka yang lebih besar.

Contoh : 

IX = 9, CM = 900 

49 ≠ IL tetapi 49 = XLIX

999 ≠ IM tetapi 999 = CMXCIX

4. Perkalian 

Dengan menambahkan tanda strip ( ¯ ), dibaca bar diatas angka romawi maka akan menambah nilai angka tersebut menjadi 1000 x nya.

X = 10.000

D = 500.000.000

8. Sistem Numerasi Hindu-Arab (±300SM- 750 M)

Angka merupakan lambang bilangan Hindu-Arab

Sifat-sifat:

• Menggunakan 10 angka / digit yaitu 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 
• Menggunakan sistem bilangan dasar sepuluh. Artinya setiap sepuluh satuan dikelompokkan menjadi satu puluhan, setiap sepuluh puluhan menjadi satu ratusan, dan seterusnya.
• Bilangan-bilangan yang lebih besar daripada 9 dinyatakan sebagai bentuk suku-suku yang merupakan kelipatan dari perpangkatan 10.

Antar suku dipisahkan oleh tanda plus ( + ).

Misalnya :  

10 = 1 x 101 + 0 x 100

205 = 2 x 102 + 0 x 100+ 5 x 100

• Menggunakan aturan tempat 

Contoh: 

1.234

1 = ribuan

2 = ratusan

3 = puluhan

4 = satuan

Beberapa konsep dalam sistem numerasi:

1. Aturan Aditif

Tidak menggunakan aturan tempat dan nilai dari suatu lambang didapat dari menjumlah nilai lambang-lambang pokok. Simbolnya sama nilainya sama dimanapun letaknya.

2. Aturan pengelompokan sederhana

Jika lambang yang digunakan mempunyai nilai-nilai n0, n1, n2,… dan mempunyai aturan aditif

3. Aturan tempat

Jika lambang-lambang yang sama tetapi tempatnya beda mempunyai nilai yang berbeda

4. Aturan Multiplikatif

Jika mempunyai suatu basis (misal b), maka mempunyai lambang-lambang bilangan 0,1,2,3,..,b-1 dan mempunyai lambang untuk b2, b3, b4,.. serta mempunyai aturan tempat.